HDU 1495

数论:

思路1:

1. 首先总可乐升数是奇数肯定不能被平分
2. 设x =b杯子倒进来次数-倒出去的次数,y同理, __为什么是-不是+,因为倒出去后杯子可乐减少,统计的是最后杯子剩余的可乐,所以做的是代数上的加减
3. 既然要平分,那么经过移动后想要满足$bx+cy=a/2$,已知扩展欧几里得$bx+cy=gcd(b,c)$,如果满足gcd(b,c) == a/2,那么就能平分.
4. 但是扩展欧几里得求出的只是一组特解x,y,不一定是最小操作值,
5. 通过(x增加,y减少)
   $b*(x-c/gcd(b,c))+c*(y+b/gcd(b,c))$
   __(x减少,y增加)
   $b*(x+c/gcd(b,c))+c*(y-b/gcd(b,c))$
   找到最小的x,y
6. 因为每一次倒入小瓶子b,c中,如果要继续使用小瓶子,那么必须倒回到大瓶子里去,但是最后一次不需要,所以ans = 2*(abs(x)+abs(y)) - 1

   #include <iostream>
   #include <string.h>
   #include <math.h>
   
   using namespace std;
   
   int a,b,c;
   
   int exgcd(int a,int b,int& x,int& y) {
   	if (b == 0) {
   		x = 1;
   		y = 0;
   		return a;
   	}
   	int res = exgcd(b,a%b,x,y);
   	int temp = y;
   	y = x - (a/b)*y;
   	x = temp;
   	return res;
   }
   int main() {
   //	freopen("a.txt","r",stdin);
   	while (scanf("%d%d%d",&a,&b,&c) && a) {
   		int x , y;
   		if (a % 2) { // 奇数一定不能被平分 
   			printf("NO\n");
   			continue;
   		}
   //		if (b < c) swap(b,c); 扩展ojld中 a,b互换,其实x,y也互换了 
   		int gcd = exgcd(b,c,x,y);
   		if ( (a/2) % gcd != 0) { // 不满足 ax+by == gcd(),偶数升可乐不能通过移动操作使得其被平分 
   			printf("NO\n");
   			continue;
   		}
   		int k = a / 2 / gcd;
   		// 扩展欧几里得的性质 ,m = n * gcd(); 
   		x = k * x;
   		y = k * y;
   		// ****x,y只是通过欧几里得求出来的一组特解而已,但不一定是使得操作满足最小值****
   		while (1) { // 找到操作次数最少的 x+y 
   			// 通过增大x,减小y,相互+-(A/bcd)抵消了 
   			if (abs(x -(c / gcd)) + abs(y + (b / gcd)) < abs(x) + abs(y) ) {
   				x -= c/gcd;
   				y += b/gcd;
   			}
   			// 减小x,增大y， 
   			else if (abs(x +(c / gcd)) + abs(y - (b / gcd)) < abs(x) + abs(y)) {
   				x += c/gcd;
   				y -= b/gcd;
   			}
   			else  break;
   		}
   		// 看分析 
   		cout << (abs(x) + abs(y))*2 -1 << endl;
   	}
   	return 0;
   }

   看到一个大神的做法：

• 通过$bx+cy=a/2$->$bx+cy=(b+c)/2$,
• 将x,y的解算出来,(其实仔细对比能看出一组解$x=(c+1)/2$ , $y=(1-b)/2$),然后化成通解(上面的第5步),
• $x=(c+1)/2+k*c$
• $y=(1-b)/2-k*b$
• 根据扩展欧几里得,其中x,y肯定异号
• 则$|x|+|y|=|k+1/2|(b+c)$
• 所以$(|x|+|y|)_{min}=b+c$
• $ans = 2*(b+c)-1$->$ans = 2*a-1$

#include <iostream>

using namespace std;

int a,b,c;

int gcd(int a,int b) {
	while (b != 0) {
		int temp = a;
		a = b;
		b = temp % b;
	}
	return a;
}
int main() {
//	freopen("a.txt","r",stdin);
	while (cin >> a >> b >> c && a) {
		a = a / gcd(b,c);// 等价于 if(a % gcd(b,c) == 0) ,是否满足扩展欧几里得性质
		if (a & 1)  // 判断最低位是否为1,奇数最低位一定为1 
			printf("NO\n");
		else printf("%d\n",a-1);
	}
	return 0;
}